বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - গণিত - | NCTB BOOK
7

আমরা দৈনন্দিন জীবনে একটি সম্পূর্ণ জিনিসের সাথে এর অংশও ব্যবহার করি। এই বিভিন্ন অংশ এক-একটি ভগ্নাংশ। সপ্তম শ্রেণিতে আমরা বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ কী তা জেনেছি এবং ভগ্নাংশের লঘুকরণ ও সাধারণ হরবিশিষ্টকরণ শিখেছি। ভগ্নাংশের যোগ, বিয়োগ ও সরলীকরণ সম্পর্কে বিস্তারিতভাবে জেনেছি। এ অধ্যায়ে ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ সম্পর্কে পুনরালোচনা এবং ভগ্নাংশের গুণ, ভাগ ও সরলীকরণ সম্পর্কে বিশদ আলোচনা করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা-

  ➤ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করতে পারবে এবং এতদসংক্রান্ত সরল ও সমস্যার সমাধান করতে পারবে।

Content added || updated By

বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ

3

যদি m ও n দুইটি বীজগণিতীয় রাশি হয়, তবে mn একটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ, যেখানে n0 । এখানে mn ভগ্নাংশটির m কে লব n কে হর বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ab, x+yy, x2+a2x+a ইত্যাদি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ।

Content added || updated By

ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠকরণ

3

কোনো বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের লব ও হরের সাধারণ গুণনীয়ক থাকলে, ভগ্নাংশটির লব ও হরের গ.সা.গু. দিয়ে লব ও হরকে ভাগ করলে, লব ও হরের ভাগফল দ্বারা গঠিত নতুন ভগ্নাংশটিই হবে প্রদত্ত ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠকরণ।

যেমন, a3b2-a2b3a3b-ab3=a2b2a-naba2-b2

                                      =a2b2a-baba+ba-b

                                      =aba+b

এখানে লব ও হরের গ.সা.গু. ab(ab) দ্বারা লব ও হরকে ভাগ করে লঘিষ্ঠকরণ করা হয়েছে।

Content added || updated By

ভগ্নাংশকে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণ

6

দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশকে সাধারণ হরবিশিষ্ট করতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হবে :

১। হরগুলোর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
২। ভগ্নাংশের হর দিয়ে ল.সা.গু.কে ভাগ করতে হবে।
৩। হর দিয়ে ল.সা.গু.কে ভাগ করা হলে যে ভাগফল পাওয়া যাবে, সেই ভাগফল দ্বারা ঐ ভগ্নাংশের লব ও হরকে গুণ করতে হবে।

যেমন, xy, ab, mn তিনটি ভগ্নাংশ, এদের একই হরবিশিষ্ট করতে হবে।

এখানে তিনটি ভগ্নাংশের হর যথাক্রমে y, b ও n এদের ল.সা.গু. = ybn

১ম ভগ্নাংশ xy এর হর y, y দ্বারা ল.সা.গু. ybn কে ভাগ করলে ভাগফল bn, এখন bn দ্বারা xy ভগ্নাংশের লব ও হরকে গুণ করতে হবে।

xy=x×bn y×bn=xbnybn

একইভাবে, ২য় ভগ্নাংশ ab এর হর b, b দ্বারা ল.সা.গু. ybn কে ভাগ করলে ভাগফল yn ।

ab, a×ynb×yn, aynbyn

৩য় ভগ্নাংশ mn এর হর n, n দ্বারা ল.সা.গু. ybn কে ভাগ করলে ভাগফল yb.

mn, m×ynn×yn, mynnyn

অতএব, xy, ab ও mn এর সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ যথাক্রমে xbnybn, aynbyn ও mynnyn 

 

উদাহরণ ১। নিচের ভগ্নাংশ দুইটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর :

(ক) 16a2b3c4y8a3b2c5x      (খ) a(a2+2ab+b2)(a3b3)(a3+b3)(a4b-b3)

সমাধান : (ক) প্রদত্ত ভগ্নাংশ 16a2b3c4y8a3b2c5x

এখানে, 16 ও 8 এর গ.সা.গু. হলো 8

         a2 ও a3  ''      ''           ''      a2

         b3 ও b2  ''     ''           ''       b2

         c4 ও c5  ''     ''           ''       c4

         y ও x       ''     ''           ''        1

16a2b3c4y3 ও 8a3b2c5x এর গ.সা.গু. হলো 8a2b2c4

16a2b3c4y8a3b2c5x এর লব ও হরকে 8a2b2c4 দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় 2byacx

16a2b3c4y8a3b2c5x -এর লঘিষ্ঠ আকার হলো 2byacx

(খ) প্রদত্ত ভগ্নাংশটি a(a2+2ab+b2)(a3-b3)(a3+b3)(a4b-b5)

এখানে, লব =a(a2+2ab+b2)(a3-b3)

                  =a(a+b)2(a-b)(a2+ab+b2)

            হর  =(a3+b3)(a4bb5)

                  =(a+b)(a2-ab+b2) {b(a4-b4)}

                  =b(a+b)(a2-ab+b2)(a2-b2)(a2+b2)

                  =b(a+b)(a2ab+b2)(a+b)(a-b)(a2+b2)

                  =b(a+b)2 (a-b)(a2+b2)(a2-ab+b2)

 লব ও হরের গ.সা.গু. =(a+b)2(a-b)

প্রদত্ত ভগ্নাংশটির লব ও হরকে (a+b)2 (a-b) দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় a(a2+ab+b2)b(a2+b2)(a2-ab+b2)

 ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ রূপ aa2+ab+b2ba2+b2/a2-0b+b2 

 

উদাহরণ ২। এখানে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো xx3y-xy3, axya2-b2, mm3n-mn3

এখানে, ১ম ভগ্নাংশের হর =x3y-xy3

                                       =xy(x2y2)

            ২য় ভগ্নাংশের হর =xy(a2b2)

            ৩য় ভগ্নাংশের হর =-m3n-mn3 =mn(m2-n2)

 হরগুলোর ল.সা.গু. =xy(x2-y2)(a2-b2)(m2-n2)mn

অতএব, xx3y-xy3=xa2-b2m2-n2mnxyx3-y2a2-b2m2-n2mn

             axya2-b2=ax2-y2m2-n2mnxyx2-y2a2-b2m2-n2mn

এবং      mm3n-mn3=xymx2-y2a2-b2xyx2-y2a2-b2m2-n2mn

 নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো xa2-b2m2-n2mnxyx2-y2a2-b2m2-n2mn, ax2-y2m2-n2mnxyx2-y2a2-b2m2-n2mn ও  xymx2-y2a2-b2xyx2-y2a2-b2m2-n2mn

কাজ : সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর :

১। x2+xyx2y ও x2-xyxy2     ২। a-ba+2b এবং 2a+ba2-4b

Content added || updated By

ভগ্নাংশের যোগ

9

দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশের যোগ করতে হলে, ভগ্নাংশগুলোকে সাধারণ হরবিশিষ্ট করে লবগুলোকে যোগ করলে যোগফল হবে একটি নতুন ভগ্নাংশ, যার লব হবে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণকৃত ভগ্নাংশগুলোর লবের যোগফল এবং হর হবে ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু.।

যেমন, ax, by, bz

           =ayzxyz+bxzxyz+bxyxyz

           =ayz+bxz+bxyxyz

 

উদাহরণ ৩। ভগ্নাংশ তিনটি যোগ কর : 1x-y, xx2+xy+y2, y2x3-y3

এখানে,        ১ম ভগ্নাংশ =1x-y

                   ২য় ভগ্নাংশ =xx2+xy+y2

                   ৩য় ভগ্নাংশ =y2x3-y3=y2x-yx2+xy+y2

হরগুলোর ল.সা.গু. =(x-y)(x2+xy+y2)=(x3-y3)

সুতরাং,        1x-y, xx2+xy+y2, y2x3-y3 এর যোগফল

                   =1x-y+xx2+xy+y2+y2x3-y3

                   

                   =x2+xy+y2x3-y3+x2-xyx3-y3+y2x3-y3

                   =x2+xy+y2+x2-xy+y2x3-y3

                   =2(x2+y2)x3-y3

নির্ণেয় যোগফল 2(x2+y2)x3-y3

 

উদাহরণ ৪। যোগফল বের কর : 3a(a2+3a-4)+2aa2-1+aa2+5a+4

সমাধান : প্রদত্ত রাশি, 3aa2+3a-4+2aa2-1+aa2+5a+4

                  =3aa2+4a-a-4+2aa+1a-1+aa2+a+4a+4

                  =3a(a + 1) + 2a(a + 4) + a(a - 1)(a + 4)(a + 1)(a - 1)

                  =3a2+3a+2a2+8a+a2-aa+4a+1a-1

                  =6a2+10aa+4a+1a-1

                  =2a3a+5a+4a2-1

 

উদাহরণ ৫। যোগফল নির্ণয় কর :

(ক) a-bbc+b-cca+c-aab

(খ) 1a2-5a+6+1a2-9+1a2+4a+c

(গ) 1a-2+a+2a2+2a+4

সমাধান : (ক) a-bbc+b-cca+c-aab

                       =a2-ab+b2-bc+c2-caabc

                       =a2+b2+c2-ab-bc-caabc

                (খ) 1a2-5a+6+1a2-9+1a2+4a+3

                      =1a2-2a-3a+6+1a+3a-3+1a2+3a+a+3

                      =1a(a-2)-3(a-2)+1(a+3)(a-3)+1a(a+3)+1a+3

                      =1(a-2)(a-3)+1(a+3)(a-3)+1(a+3)(a-1)

                      =(a+1)a+3+a+1a-2+a-2a-3a+1a-2a+3a-3

                      =a2+4a+3+a2-a+2+a2-5a+6a+1a-2a+3a-3

                      =3a2-2a+7a+1a-2a2-9

                (গ) 1a-2+a+2a2+2a+4

                      =a2+2a+4+a-2a+2a-2a2+2a+4

                      =a2+2a+4+a2-4a3-8

                      =2a2+2aa3-8

কাজ : যোগ কর :

১। 2a3x2y, 3b2xy2 ও a+bxy       ২। 2x2y-xy2, 3xyx2-y2 ও 1x2-y2

Content added || updated By

ভগ্নাংশের বিয়োগ

3

দুইটি ভগ্নাংশের বিয়োগ করতে হলে, ভগ্নাংশ দুইটিকে সাধারণ হরবিশিষ্ট করে লব দুইটিকে বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে একটি নতুন ভগ্নাংশ, যার লব হবে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণকৃত ভগ্নাংশ দুইটির লবের বিয়োগফল এবং হর হবে ভগ্নাংশ দুইটির হরের ল.সা.গু.।

যেমন, axy-byz

           =azxyz-bxxyz

           =az-bxxyz

 

উদাহরণ ৬। বিয়োগফল নির্ণয় কর :

(ক) x4a2bc2-y9ab2c3

(খ) xx-y2-x+yx2-y2

(গ) a2+9y2a2-9y2-a+3ya-3y

সমাধান : (ক) x4a2bc2-y9ab2c3

এখানে, হর 4a2bc2 ও 9ab2c3 এর ল.সা.গু. 360a2b2c

x4a2bc2-y9ab2c3

     =9xbc-4ya36a2b2c3 

(খ) xx-y2-x+yx2-y2

এখানে হর x-y2 ও x2-y2 এর ল.সা.গু. x-y2x+y

 xx-y2-x+yx2-y2

   =xx+y-(x+y)x-yx-y2x+y

   =x2+xy-x2+y2(x-y)2x+y

   =xy+y2x-y2x+y

   =yx+yx-y2x+y

   =yx-y2

(গ) a2+9y2a2-9y2-a-3ya+3y

এখানে হর a2-9y2 ও a+3y ল.সা.গু. a2-9y2

        a2+9y2a2-9y2-a-3ya+3y

  =a2+9y2-a-3ya-3ya2-9y2

  =a2+9y2-a2-6ay+9y2a2-9y2

  =a2+9y2-a2+6ay-9y2a2-9y2

  =6aya2-9y2

কাজ : বিয়োগ কর :

১। xx2+xy+y2 থেকে xyx3-y3     ২। 11+a+a2 থেকে 2a1+a2+a4

লক্ষণীয় : বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ করার সময় প্রয়োজন হলে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করে নিতে হবে।

যেমন, a2bcab2c+ab2cabc2+abc2a2bc

           =ab+bc+ca

           =a×cab×ca+b×abc×ab+c×bca×bc [হর b,c,a এর ল.সা.গু. abc]

           =ca2abc+ab2abc+bc2abc

           =ca2+ab2+bc2abc

 

উদাহরণ ৭। সরল কর :

(ক) x-yy+zz+x+y-zx+yz+x+z-xx+yy+z

(খ) 1x-2-1x+2-4x2+4

(গ) 11-a+a2-11+a+a2-2a1+a2+a4

সমাধান : (ক)x-yy+zz+x+y-zx+yz+x+z-xx+yy+z

এখানে হর, (y+z)(z+x), (x+y)(z+x) ও (x+y)(y+z) এর ল.সা.গু. (x+y)(y+z)(z+x)

x-yy+zz+x+y-zx+yz+x+z-xx+yy+z

   =x-yx+y+y-zy+z+z-xz+xx+yy+zz+x

   =x2-y2+y2-z2+z2-x2x+yy+zz+x

   =0x+yy+zz+x

   =0

(গ) 11-a+a2-11+a+a2-2a1+a2+a4

এখানে, 1+a2+a4=1+2a2+a4-a2

                                   =1+a22-a2

                                   =1+a2+a1+a2-a

                                   =a2+a+1a2-a+1

এখানে হর 1-a+a2, 1+a+a2 ও 1+a2+a4 এর ল.সা.গু. 1+a+a21-a+a2

                                                                                                              =1+a2+a4

11-a+a2-11+a+a2-2a1+a2+a4

   =1+a+a2-1+a-a2-2a1+a2+a4

   =01+a2+a4

   =0

Content added || updated By

অনুশীলনী ৫.১

5
Please, contribute by adding content to অনুশীলনী ৫.১.
Content

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

নিচের উদ্দীপকের আলোকে নিচের ২টি প্রশ্নের উত্তর দাও :

x2+x-12x2+2x-15 একটি বীজগাণিতিক ভগ্নাংশ

নিচের তথ্যের আলোকে নিচের ২টি প্রশ্নের উত্তর দাও :

1a2+b2-c2+2ab, 1b2+c2-a2+2bc  1c2+a2-b2+2ca তিনটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ। -

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের ২টি প্রশ্নের উত্তর দাও :

1m-2, 1m+2, 4m2+4, 32m4-16 চারটি বীজগাণিতিক রাশি।

ভগ্নাংশের গুণ

6

দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশ গুণ করে একটি ভগ্নাংশ পাওয়া যায় যার লব হবে ভগ্নাংশগুলোর লবের গুণফলের সমান এবং হর হবে ভগ্নাংশগুলোর হরের গুণফলের সমান। এরূপ ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করা হলে লব ও হর পরিবর্তিত হয়।

যেমন, xy ও ab দুইটি ভগ্নাংশ। 

এই দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল হলো

           xy×ab

          =x×ay×b

          =xayb

এখানে xa হলো ভগ্নাংশটির লব যা প্রদত্ত ভগ্নাংশ দুইটির লবের গুণফল এবং হর হলো yb যা প্রদত্ত ভগ্নাংশ দুইটির হরের গুণফল। আবার, xby, yaz ও zx তিনটি ভগ্নাংশের গুণফল হলো

           xby×yaz×zx

          =xyzaxyzb

          =ab     [লঘিষ্ঠকরণ করে]

এখানে গুণফল লঘিষ্ঠকরণ করার ফলে লব ও হর পরিবর্তিত হলো।

 

উদাহরণ ৮। গুণ কর :

(ক) a2b2cd কে abc2d2 দ্বারা 

(খ) x2y3xy2 কে x3bay3 দ্বারা 

(গ) 10x5b4z33x2b2z কে 15y5b2z22y2a2x দ্বারা 

(ঘ) x2-y2x3+y3 কে x2-xy+y2x3-y3  দ্বারা 

(ঙ) x2-5x+6x2-9x+20 কে x-5x-3 দ্বারা 

সমাধান :

(ক) a2b2cd×abc2d2

       =a2b2×abcd×c2d2

 নির্ণেয় গুণফল =a3b3c3d3

(খ) x2y2xy2×x3bay3

      =x2y3×x3bxy2×ay3

      =x5y3bxy5a

 নির্ণেয় গুণফল =x4by2a

(গ) 10x5b4z33x2b2z×15y5b2z22y2a2x

      =10x5b4z3×15y5b2z23x2b2z×2y2a2x

      =25x5y5z5b6x3y2z a2b2

 নির্ণেয় গুণফল =25b4x2y3z4a2

(ঘ) x2-y2x3+y3×x2-xy+y2x3-y3

      =x+yx-y×x2-xy+y2x+yx2-xy+y2x-yx2+xy+y2

 নির্ণেয় গুণফল =1x2+xy+y2

(ঙ) x2-5x+6x2-9x+20×x-5x-3

      =x2-2x-3x+6x2-4x-5x+20×x-5x-3

      =xx-2-3x-2xx-4-5x-4×x-5x-3

      =x-2x-3x-4x-5×x-5x-3

      =x-2x-3x-5x-4x-5x-3

 নির্ণেয় গুণফল =x-2x-4

কাজ : গুণ কর :

১। 7a2b36a3b2 কে 24ab235a4b5 দ্বারা     ২। x2+3x-4x2-7x+12 কে x2-9x2-16 দ্বারা 

Content added || updated By

ভগ্নাংশের ভাগ

5

একটি ভগ্নাংশকে অপর একটি ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করার অর্থ প্রথমটিকে দ্বিতীয়টির গুণাত্মক বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা।

উদাহরণস্বরূপ, xy ও zy দ্বারা ভাগ করতে হবে,

তাহলে xy÷zy

            =xy×zy    [এখানে yz হলো zy এর গুণাত্মক বিপরীত ভগ্নাংশ]

            =xz

 

উদাহরণ ৯। ভাগ কর :

(ক) a3b2c2d কে a2b3cd3 দ্বারা 

(খ) 12a4x3y210x4y3z2 কে 6a3b2c5x2y2z2 দ্বারা 

(গ) a2-b2a2+ab+b2 কে a+ba3-b3 কে 

(ঘ) x3-27x2-7x+6 কে x2-9x2-36 দ্বারা 

(ঙ) x3-y3x3+y3 কে x2-y2x+y2 দ্বারা 

সমাধান :

(ক) ১ম ভগ্নাংশ =a3b2c2d

        ২য়          =a2b3cd3

২য় ভগ্নাংশের গুণাত্মক বিপরীত হলো cd3a2d3

                                                           a3b2c2d÷a2b3cd3

                                                         =a3b2c2d×cd3a2b3

 নির্ণেয় ভাগফল =a3b2cd3a2b3c2d=ad2bc

(খ) 12a4x3y210x4y3z2÷6a3b2c5x2y2z2

  =12a4x3y210x4y3z2×5x2y2z26a3b2c

 নির্ণেয় ভাগফল axyb2c

(গ) a2-b2a2+ab+b2÷a+ba3-b3

 =a+ba-ba2+ab+b2×a-ba2+ab+b2a+b

 =a-ba-b

 নির্ণেয় ভাগফল =a-b2

(ঘ) x3-27x2-7x+6÷x2-9x2-36

 =x3-33x2-6x-x+6×x2-62x2-32

 =x-3x2+3x+32x2-6x-x+6×x+6x-6x+3x-3

 নির্ণেয় ভাগফল =x2+3x+9x+6x-1x+3

(ঙ) x3-y3x3+y3÷x2-y2x+y2

 

 নির্ণেয় ভাগফল =x2+xy+y2x2-xy+y2

কাজ : ভাগ কর : 

১। 16a2b221z2 কে 28ab435xyz দ্বারা     ২। x4-y4x2-2xy+y2 কে x3+y3x-y দ্বারা

উদাহরণ ১০। সরল কর :

(ক) 1+1x÷1-1x2

(খ) xx+y+yx-y÷xx-y-yx+y

(গ) a3+b3a-b2+3ab÷a+b2-3aba3+b3×a+ba-b

(ঘ) x2+3x-4x2-7x+12÷x2-16x2-9×x-42x-12

(ঙ) x3+y3+3xyx+yx+y2-4xy÷x-y2+4xyx3-y3-3xyx-y

সমাধান : (ক) 1+1x÷1-1x2

                       =x+1x÷x2-1x2

                       =x+1x×x2x+1x-1

(খ) xx+y+yx-y÷xx-y-yx+y

       =x2-xy+xy+y2x+yx-y÷x2+xy-xy+y2x-yx+y

       =x2+y2x2-y2÷x2+y2x2-y2

       =x2+y2x2-y2×x2-y2x2+y2

       =1

(গ) a3+b3a-b2+3ab÷a+b2-3aba3+b3×a+ba-b

       =a+ba2-ab+b2a2-2ab+b2+3ab÷a2+2ab+b2-3aba+ba2+ab+b2×a+ba-b

       =a+ba2-ab+b2a2+ab+b2×a-ba2+ab+b2a2-ab+b2×a+ba-b

       =a+ba+b

       =a+b2

(ঘ) x2+3x-4x2-7x+12÷x2-16x2-9×x-42x-12

      =x2+4x-x-4x2-3x-4x+12×x2-32x2-42×x-42x-12

      =x+4x-1x-3x-4×x+3x-3x+4x-4×x-42x-12

      =x+3x-1

(ঙ) x3+y3+3xyx+yx+y2-4xy÷x-y2+4xyx3-y3-3xyx-y

       =x+y3x-y2÷x+y2x-y3

       =x+y3x-y2×x-y3x+y2

        =x+yx-y

        =x2-y2

Content added || updated By

অনুশীলনী ৫.২

4
Please, contribute by adding content to অনুশীলনী ৫.২.
Content

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

নিচের তথ্য থেকে নিচের ২টি প্রশ্নের উত্তর দাও :

A = x2 – 3x – 54 এর B = x2 - 2x - 48

Promotion